Mỗi sự lựa chọn x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} cho ta dạng tổng Riemann khác nhau:

• Nếu x i ∗ = x i − 1 {\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}} với mọi i, thì S được gọi là quy tắc trái[2][3] hoặc tổng Riemann trái.
• Nếu x i ∗ = x i {\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}} với mọi i, thì S được gọi là quy tắc phải[2][3] hoặc tổng Riemann phải.
• Nếu x i ∗ = ( x i + x i − 1 ) / 2 {\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2} với mọi i, thì S được gọi là quy tắc điểm giữa[2][3] hoặc tổng Riemann giữa.
• Nếu f ( x i ∗ ) = sup f ( [ x i − 1 , x i ] ) {\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])} (nó là, cận trên đúng của f trên [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} ), thì S được định nghĩa là tổng Riemann cao hoặc tổng Darboux cao.
• Nếu f ( x i ∗ ) = inf f ( [ x i − 1 , x i ] ) {\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])} (nó là, cận dưới đúng của f trên [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} ), thì S được định nghĩa là tổng Riemann thấp hoặc tổng Darboux thấp.

Những phương pháp này là những phương pháp cơ bản nhất để đạt được phép lấy tích phân bằng số. Nói dễ hơn, hàm số có thể tích phân Riemann được nếu tất cả các tổng Riemann cũng như các khoảng chia "chính xác và nhỏ hơn".

Nếu nó không phải là tổng Riemann, tổng trung bình của trái và phải Riemann là quy tắc hình thang và là một trong những cách chung đơn giản nhất để tính gần đúng tích phân bằng cách sử dụng trung bình trọng số. Điều này theo sau tính phức tạp bởi quy tắc Simpson và công thức Newton–Cotes.

Bất kỳ tổng Riemann với khoảng chia (đó là, với bất kỳ sự lựa chọn nào của x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} giữa x i − 1 {\displaystyle x_{i-1}} và x i {\displaystyle x_{i}} ) đều ở trong tổng Darboux cao và thấp. Điều này làm cơ sở cho tích phân Darboux, khi nó tương đương với tích phân Riemann.